Question

操作发现

将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．

问题解决

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

（1）求证：△CDO是等腰三角形；

（2）若DF=8，求AD的长．

 

 

Answer 1

(1)证明见解析；（2）12-4．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长．

试题解析：（1）证明：由图①知BC=DE，

∴∠BDC=∠BCD，

∵∠DEF=30°，

∴∠BDC=∠BCD=75°，

∵∠ACB=45°，

∵∠DCO+∠BCO=75°

∴∠DCO=30°

∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°，

∴∠DOC=30°+45°=75°，

∴∠DOC=∠BDC，

∴△CDO是等腰三角形；

（2）【解析】
作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，

在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，

∴DH=4，HF=4，

在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，

∴DB=8，BF=16，

∴BC=BD=8，

∵AG⊥BC，∠ABC=45°，

∴BG=AG=4，

∴AG=DH，

∵AG∥DH，AG⊥BC，

∴四边形AGHD为矩形，

∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4．

考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．