Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG．
（1）求证：△CAG∽△ABC；
（2）求sinB的值．

Answer 1

考点：三角形的重心,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）证明：CG交AB于D，如图，设GD=a，根据重心的性质得CG=2DG=2a，根据重心的定义得CD为AB边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=3a，则∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根据相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC；
（2）根据相似的性质，由△CAG∽△ABC得到

AC

AB

=

CG

AC

，则可计算出AC=2

3

a，然后在Rt△ACB中，利用正弦的定义求解．

解答：（1）证明：CG交AB于D，如图，设GD=a，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2DG=2a，CD为AB边上的中线，
∴CD=AD=BD=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC；
（2）解：∵△CAG∽△ABC，
∴

AC

AB

=

CG

AC

，即

AC

6a

=

2a

AC

，
∴AC=2

3

a，
在Rt△ACB中，sinB=

AC

AB

=

2 3 a

6a

=

3

3

．

点评：本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查相似三角形的判定与性质．