Question

4．已知：如图1，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．
（1）求证：AE=AF；
（2）如图2，若∠BAC=60°，△ABD的面积为4，连接AD交EF于M，连接BM、CM，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为1的三角形．

Answer 1

分析 （1）由△DBF≌△DCE得∠B=∠C，根据等角对等边得AB=AC，由此即可证明．（2）首先证明EF∥BC，得S_△BDF=S_△BDM=S_△CDM=S_△CDE，设BD=a，根据S_△ABD=4得出a²=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，再求出S_△BDF=1，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DFB=∠DEC=90°，
在RT△DBF和RT△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△DCE，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，∵BF=CE，
∴AF=AE．
（2）解：∵AF=AE，
∠AFE=∠AEF，
∵∠A+2∠AFE=180°，∠A+2∠B=180°，
∴∠AFE=∠B，
∴EF∥BC，
∵BD=DC，
∴S_△BDF=S_△BDM=S_△CDM=S_△CDE，
设BD=a，∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$a，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$a=4，
∴a²=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$•BF•DF=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²=1，
∴S_△BDF=S_△BDM=S_△CDM=S_△CDE=1．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形面积公式、等积问题、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的突破口是同底等高的三角形面积相等，学会用方程思想解决问题，属于中考常考题型．