Question

【题目】如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD=BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E．

（1）请猜想DE与AC的位置关系，并说明理由；

（2）当AB=6，BD=2时，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）猜想：DE⊥AC，证明详见解析；（2）

【解析】

（1）连接，由切线的性质知，；中，分别为、的中点，即是的中位线，因此，由此可得；

（2）连接，由圆周角定理知，即是的垂直平分线，因此是等腰三角形，，易证，可得，可在中，用勾股定理求得的长，进而可根据上面的比例关系求出的长.

（1）猜想：DE⊥AC

理由如下：

如图，连接OD.

∵DE是⊙O的切线，切点为D．

∴OD⊥DE．

∵BD=CD，OA=OB，

∴OD∥AC．

∴DE⊥AC．

（2）连接AD.

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ADB=90°且BD=DC=2．

∴AD是BC的垂直平分线．

∴AB=AC．

∴∠ABD=∠ACD．

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°．

∴∠ADB=∠CED．

∴Rt△ABD∽Rt△DCE．

∴DEAB=ADDC．

在Rt△ABD中，AB=6，BD=2，

∴