Question

11．已知AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，垂足为点N，弦CD交AM于点E，连按AB和BE．
（1）如图1，若CD⊥AB，垂足为点F，求证：∠BED=2∠BAM；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，若∠ABE=∠BDC，求证：AE=2CN；
（3）如图3，AB=CD，BE：CD=4：7，AE=11，求EM的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可得BN=CN，根据垂直平分线的性质可得EB=EC，从而可得∠BED=2∠BCD，只需证明∠BAM=∠BCD即可；
（2）连接AC，如图2，易得BC=2CN，要证AE=2CN，只需证AE=BC，只需证△ABE≌△CDB，只需证BE=BD即可；
（3）过点O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3，由AB=CD可推出OP=OQ，易证∠BEA=∠CEA，根据角平分线的性质可得OH=OQ，即可得到OP=OH，则有$\frac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△EBO}}$=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{CD}{BE}$=$\frac{7}{4}$，从而可得$\frac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△EBO}}$=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{7}{4}$．由AE=11可求出AO、EO，就可求出AM、EM．

解答 解：（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，
∴∠ENC=∠EFA=90°．
∵∠AEF=∠CEN，
∴∠BAM=∠BCD．
∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，
∴BN=CN，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠BCD，
∴∠BED=2∠BCD=2∠BAM；

（2）连接AC，如图2，
∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，
∴∠BAM=∠CAM，
∴∠BDC=∠BAC=2∠BAM=∠BED，
∴BD=BE．
在△ABE和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCB}\\{∠ABE=∠CDB}\\{BE=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDB，
∴AE=CB．
∵BN=CN，
∴AE=CB=2CN；

（3）过点O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3，
则有AP=BP=$\frac{1}{2}$AB，CQ=DQ=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB=CD，
∴AP=CQ，
∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{O{C}^{2}-C{Q}^{2}}$=OQ．
∵AM垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠BEA=∠CEA．
∵OH⊥BE，OQ⊥CD，
∴OH=OQ，
∴OP=OQ=OH，
∴$\frac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△EBO}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•OP}{\frac{1}{2}BE•OH}$=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{CD}{BE}$=$\frac{7}{4}$．
又∵$\frac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△EBO}}$=$\frac{AO}{EO}$，
∴$\frac{AO}{EO}$=$\frac{7}{4}$．
设AO=7k，则EO=4k，
∴AE=AO+EO=11k=11，
∴k=1，
∴AO=7，EO=4，
∴AM=2AO=14，
∴EM=AM-AE=14-11=3．

点评 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、等高（或同高）三角形的面积比等于底的比等知识，证到BD=BE是解决第（2）小题的关键，证到OP=OH是解决第（3）小题的关键．