Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是x＝﹣1，且与x轴交于E点．

（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图2，连接AD，设点P是线段AD上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点G，交x轴于点H，连接AG、GD，当△ADG的面积为1时，

①求点P的坐标；

②连接PC、PE，探究PC、PE的数量关系和位置关系，并说明理由;

（3）设M为抛物线上一动点，N为抛物线的对称轴上一动点，Q为x轴上一动点，当以Q、M、N、E为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D坐标为（﹣1，4）；（2）①P（﹣2，2）；②PC＝PE，PC⊥PE，理由见解析；（3）Q（，0）或（，0）或（，0）或（，0）

【解析】

（1）根据待定系数法，即可得到答案；

（2）①易求：直线AD的解析式为：y＝2x+6，设点P（m，2m+6）（﹣3＜m＜﹣1），则G（m，﹣m2﹣2m+3），得到PG=﹣m2﹣4m﹣3，结合S△ADG＝1，列出关于m的方程即可；

②连接CE，根据勾股定理分别求出PC，PE， CE的值，即可得到PC、PE的数量关系和位置关系；

（3）设N（﹣1，n），Q（p，0），根据题意得：M（p，n），|p+1|＝|n|，﹣p2﹣2p+3＝n，即可求出点Q的坐标.

（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，

∴﹣ ＝﹣1，

∴b＝﹣2，

∴抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，

∵抛物线过点A（﹣3，0），

∴0＝﹣9+6+c，

∴c＝3，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∴顶点D坐标为（﹣1，4）；

（2）①由（1）知，D（﹣1，4），

∵A（﹣3，0），

∴直线AD的解析式为：y＝2x+6，

设点P（m，2m+6）（﹣3＜m＜﹣1），

由（1）知，抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，

∵PH⊥x轴，

∴G（m，﹣m2﹣2m+3），

∴PG＝﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，

∵△ADG的面积为1，

∴S△ADG＝PG×（﹣1+3）＝﹣m2﹣4m﹣3＝1，

∴m＝﹣2，

∴P（﹣2，2）；

②如图2，连接CE，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∴C（0，3），

由①知，P（﹣2，2），

∵抛物线的对称轴x＝1，

∴E（﹣1，0），

∴PC＝，PE＝＝， CE＝，

∴PC＝PE，PC2+PE2＝5+5＝10＝CE2，

∴△PCE是以CE为斜边的直角三角形，

∴∠CPE＝90°．

∴PC⊥PE；

（3）设N（﹣1，n），Q（p，0），

∵以Q、M、N、E为顶点的四边形为正方形，

∴M（p，n），|p+1|＝|n|①，

∵点M在抛物线上，

∴﹣p2﹣2p+3＝n②，

联立①②解得， 或或或，

∴Q（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．