Question

【题目】如图，在矩形中， ＝8， ＝6，动点从点出发，沿以2 的速度向终点匀速运动，同时点从点出发，沿→以4 的速度向点匀速运动，到达点后，继续沿→以3 的速度向终点匀速运动.连结，以、为边作□，连结交于点，设点的运动时间为（），□与矩形重叠部分图形的面积为.

（1）当点在点上，△是等腰三角形时，求的值.

（2）当点在边上，△与△相似时，求的值.

（3）求与之间的函数关系式.

（4）当△是等腰三角形时，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）当时， ； 当时， ；当时， （4）， ， ．

【解析】试题分析：

(1) 由于△APQ为等腰直角三角形，所以AQ=AP. 根据对已知条件和动点的运动过程的分析，可以用x表示出线段AQ与AP的长. 根据AQ=AP可以得到一个关于x的方程，解这个方程即可得到满足条件的x值.

(2) 题干中给出的相似三角形有△CFQ∽△CAD与△CFQ∽△CDA两种情况. 需要据此分两种情况求解. 在第一种情况下，可以判定四边形APQD为平行四边形. 利用x表示出线段DQ与AP的长，可以得到一个关于x的方程，解这个方程即可得到满足条件的x值. 在第二种情况下，可以得到△CFQ与△AFP均为直角三角形. 在这两个直角三角形中，利用锐角三角函数可以得到线段CQ，AP以及AC的长度关系. 利用此关系列出方程求解即可.

(3) 分析题意可知，在PQ⊥AB之前，平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分的面积为梯形BPQC的面积；在PQ⊥AB之后，平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分的面积为平行四边形BPQE的面积，但是平行四边形BPQE面积的变化规律与点Q在线段CD还是AD上有关. 当点Q在线段CD上时，平行四边形BPQE的高不变；当点Q在线段AD上时，平行四边形BPQE的高随x的增大而减小. 根据上述分析，分三种情况讨论即可.

(4) 综合分析可知，△APF为等腰三角形有三种情况. 第一种情况下，AP=FP. 通过计算可以发现，当点Q在CD上时，线段AF的长是一个定值. 因此，通过等腰三角形“三线合一”的性质构造直角三角形，利用线段AF的长和锐角三角函数可以获得线段AP的长，进而获得x的值. 第二种情况下，AF=AP. 由线段AF的长容易得到线段AP的长，进而获得x的值. 第二种情况下，AF=PF. 在这种情况下，可以通过锐角三角函数的定义，利用线段AQ和AP的长度表达式，列出方程求解.

试题解析：

(1) 根据题意画出下列示意图.

∵△APQ为等腰直角三角形，

又∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，

∴AP=AQ.

∵点P的运动时间为x (s)，点P的运动速度为2 (cm/s)，

∴AP=2x (cm).

∵当点Q在线段AD上时，点Q的运动路程为CD+DQ，

∵在线段CD上，点Q的运动速度为4 (cm/s)，

又∵在矩形ABCD中，CD=AB=8cm，

∴点Q完成在线段CD上的运动需要2 (s).

∵点Q与点P同时开始运动，

∴点Q的运动时间为x (s)，

∵在线段AD上，点Q的运动速度为3 (cm/s)，

∴DQ=3(x-2) (cm)，

∵在矩形ABCD中，AD=BC=6cm，

∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).

由AP=2x (cm)，AQ =6-3(x-2) (cm)，AP=AQ，可列关于x的方程：

2x=6-3(x-2)，

解之，得

(s).

∵点Q完成在线段CD上的运动需要2 (s)，点P与点Q完成全部运动均需要4 (s)，

∴在本小题中， ，

∴符合题意.

故当点Q在边AD上，△APQ是等腰直角三角形时，x的值为.

(2) 分析题意可知，本小题应分以下两种情况分别求解.

①当△CFQ∽△CAD时，

∵△CFQ∽△CAD，

∴∠CFQ=∠CAD，

∴FQ∥AD，

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，即AP∥DQ，

∴四边形APQD为平行四边形，

∴AP=QD.

∵在线段CD上，点Q的运动速度为4 (cm/s)，点Q的运动时间为x (s)，

∴CQ=4x (cm)，

∴QD=CD-CQ=8-4x (cm)，

由AP=2x (cm)，QD=8-4x (cm)，AP=QD，可列关于x的方程：

2x=8-4x，

解之，得

(s).

∵点Q完成在线段CD上的运动需要2 (s)，

∴在本小题中， ，

∴符合题意.

②当△CFQ∽△CDA时，

∵△CFQ∽△CDA，

∴∠CFQ=∠CDA，

∵在矩形ABCD中，∠CDA=90°，

∴∠CFQ=∠CDA=90°，

∴△CFQ与△AFP均为直角三角形.

∵AD=6cm，CD=8cm，

∴在Rt△CDA中， (cm)，

∴在Rt△CDA中， .

∵CQ=4x (cm)，

∴在Rt△CFQ中， (cm).

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠PAF=∠ACD，

∵AP=2x (cm)，

∴在Rt△AFP中， (cm).

由AF+CF=AC，可列关于x的方程：

，

解之，得

(s).

∵在本小题中， ，

∴不符合题意.

综上所述，当点Q在边CD上，△CFQ与△CAD相似时，x的值为.

(3) ∵当PQ⊥AB时，AP=QD，

又∵AP=2x (cm)，QD=8-4x (cm)，

∴ (s).

又∵点Q完成在线段CD上的运动需要2 (s)，

∴本小题应分别在， ， 三种情况下求解.(示意图如下)

①当时，平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分的面积y为梯形BPQC的面积.(如图①)

∵AB=8(cm)，AP=2x(cm)，

∴PB=8-2x(cm)，

∵CQ=4x(cm)，PB=8-2x(cm)，BC=6(cm)，

∴.

②当时，平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分的面积y为平行四边形BPQE的面积.(如图②)

∵QE=PB=8-2x(cm)，BC=6(cm)，

∴.

③当时，平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分的面积y为平行四边形BPQE的面积.(如图③)

∵DQ=3(x-2) (cm)，

∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).

∵PB=8-2x(cm)，AQ=6-3(x-2) (cm)，

∴.

综上所述，y与x之间的函数关系式为：

①当时， ；

②当时， ；

③当时， .

(4) 当△APF为等腰三角形时，x的值为， ， . 求解过程如下.

综合分析可知，△APF为等腰三角形有如下图所示的三种情况.

①若在图①所示的情形下，则AP=FP.

过点P作PG⊥AF，垂足为G.

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴当点Q在CD上时，△APF∽△CQF，

∵当点Q在CD上时，CQ=4x(cm)，

又∵AP=2x (cm)，

∴当点Q在CD上时， ，

∴当点Q在CD上时，

∵AC=10 (cm)，

∴当点Q在CD上时， (cm).

∵AP=FP，PG⊥AF， (cm)，

∴ (cm)，

∵，

∴在Rt△AGP中， (cm)，

∵AP=2x (cm)，

∴ (s).

②若在图②所示的情形下，则AP=AF.

∵点Q在CD上，

∴ (cm)，

∵AP=2x (cm)，

∴ (s).

③若在图③所示的情形下，则AF=PF.

∵AF=PF，

∴在△AFP中，∠FPA=∠PAF.

∵，

∴.

∵AP=2x (cm)，AQ=6-3(x-2) (cm)，

∴在Rt△PAQ中， ，

∴ (s).

综上所述，当△APF为等腰三角形时，x的值为， ， .