Question

18．已知直线y=$\frac{3}{4}$x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D在x轴正半轴，且OD=6，点C，M是线段OD的三等分点（点C在点M的左侧）
（1）若直线AB经过点（4，6）
①求直线AB的解析式；
②求点M到直线AB的距离；
（2）若点Q在x轴上方的直线AB上，且∠CQD是锐角，试探究：在直线AB上是否存在符合条件的点Q，使得sin∠CQD=$\frac{4}{5}$？若存在，求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
②根据相似三角形对应边成比例求得即可．
（2）作CE⊥CD，且CE=3，因为CD=4，根据勾股定理得出DE=5，所以sin∠CED=$\frac{4}{5}$，如果AB与x轴上方的优弧相交，交点为Q，根据同弧所对的圆周角相等，则∠CQD=∠CED，则sin∠CQD=$\frac{4}{5}$，当AB经过E点时，点E即为Q点，根据三角形相似求得OB的值为$\frac{3}{2}$，即可求得b的取值．

解答 解：（1）①∵直线AB经过点（4，6），
∴6=$\frac{3}{4}$×4+b，则b=3，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3．
②如图1，设点M到直线AB的距离为MN，
由直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3可知A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
∵OD=6，点C，M是线段OD的三等分点，
∴AM=4+4=8，
∵∠BAO=∠MAN，∠AOB=∠ANM=90°，
∴△AOB∽△ANM，
∴$\frac{MN}{OB}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴MN=$\frac{AM•OB}{AB}$=$\frac{8×3}{5}$=$\frac{24}{5}$．

（2）存在；
在CD的垂直平分线上取点I（4，1.5）
以I为圆心，ID为半径作圆，则⊙I必过点C，
在Rt△MID中，由勾股定理，得：
ID=$\sqrt{{2}^{2}+1．{5}^{2}}$=2.5，
sin∠MID=$\frac{MD}{ID}$=$\frac{4}{5}$，
当直线AB与⊙I相切（切点在第一象限）时，直线AB上存在唯一一个符合条件的点Q（切点），使得sin∠CQD=$\frac{4}{5}$（∠CQD=∠MID），此时设CD的垂直平分线交直线AB于点N，
在直线y=$\frac{3}{4}$x+b中，令y=0，则x=-$\frac{4}{3}$b，∴OA=$\frac{4}{3}$|b|，令x=0，则y=b，∴OB=|b|，
由勾股定理，得：AB=$\frac{5}{3}$|b|．
∵∠QNI=ABO，∠IQN=∠AOB=90°，
∴△IQN∽△AOB，
∴$\frac{IQ}{AO}$=$\frac{NI}{AB}$，$\frac{2.5}{\frac{4}{3}|b|}$=$\frac{NI}{\frac{5}{3}|b|}$，NI=$\frac{25}{8}$，
∴NM=$\frac{25}{8}$+$\frac{12}{8}$=$\frac{37}{8}$，N（4，$\frac{37}{8}$），
则把N（4，$\frac{37}{8}$）代入y=$\frac{3}{4}$x+b中，得：b=$\frac{13}{8}$，
此时直线AB的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{13}{8}$．
若直线AB过点C，则把C（2，0）代入y=$\frac{3}{4}$x+b中，得：b=-$\frac{3}{2}$，
若直线AB过点D，则把D（6，0）代入y=$\frac{3}{4}$x+b中，得：b=-$\frac{9}{2}$，
∴当b＞$\frac{13}{8}$或b≤-$\frac{9}{2}$时，点Q不存在；
当b=$\frac{13}{8}$或-$\frac{9}{2}$＜b≤-$\frac{3}{2}$时，存在符合条件的一个点Q；
当-$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{13}{8}$时，存在符合条件的两个点Q．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，三角形相似的判定和直角三角函数等，（2）作出直角三角形CDE和三角形的外接圆是解题的关键．