Question

3．已知关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0．
（1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m≠0，设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是关于m的函数，且$y=1-\frac{x_2}{x_1}$，求y与m的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的根的判别式△=b²-4ac的符号来判断方程的根的情况；
（2）由（1）知原方程有两个实数根，所以根据求根公式和已知条件“m≠0，x₁＞x₂^”求得x₁、x₂的值，并将其代入且$y=1-\frac{x_2}{x_1}$，求得这个函数的解析式．

解答 解：（1）由题意有△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）=1＞0．
∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），
解关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0可得x₁=m，x₂=m-1，
则$y=1-\frac{x_2}{x_1}=1-\frac{m-1}{m}=\frac{1}{m}$．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握根与系数的关系、根的判别式是解题的关键．