Question

【题目】（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：

如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2

证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形

∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=

∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°

∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2

（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．

（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．

Answer 1

【答案】（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）k=

【解析】

（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．

（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．

（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′=PA，再根据勾股定理代换即可．

（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2

（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2

证明：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，

∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B，

∵∠APB=135°，

∴∠BPP’=90°，

∴P’P2+BP2=P’B2，

∴2PA2+PB2=PC2．

（3）k=

将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△AP’B，连接PP’，过点A作AH⊥PP’，

可得