Question

如图，已知正方形ADBF，点E在AD上，且∠AEB=105°，EC∥DF交BD的延长线于C，N为BE延长线上一点，BN交AC于M，且CE=2MN，连接AN、CN，下列结论：①AC⊥BN；②△NCE为等边三角形；③BF=2AM；④BE+

2

DE=DF．其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：根据∠AEB=105°，得出∠BED=75°由EC∥DF能够证得∠CED=∠ECD=45°进而得到CD=DE，从而证得△ACD≌△BED，得出∠ACD=∠BED=75°，进而得出∠ACE=30°，∠CEN=60°得出AC⊥BN，故①正确；根据30°的直角三角形的性质得出CE=2ME，根据已知CE=2MN，得出MN=ME，CN=CE，得出△NCE为等边三角形，故②正确；由∠AME=∠BDE=90°，∠AEM=∠BED，得出△AME∽△BDE，得出

BD

AM

=

DE

ME

，根据CE=2ME，CE=

2

DE，BD=BF，得出

BF

AM

=

2

，BF=

2

AM，故③错误；连接AB，证得∠ANB=∠NAB=75°，得出NB=AB，即可证得BE+

2

DE=DF，故④正确；

解答：解：∵∠AEB=105°，
∴∠NED=105°，
∴∠BED=75°
∵EC∥DF，
∴∠ECD=∠ADF=45°，
∴∠NEC=60°
∵∠ADC=90°，
∴∠CED=∠ECD=45°
∴CD=DE，
在△ACD和△BED中，

CD=DE ∠ADC=∠BDE=90° AD=BD

∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠ACD=∠BED=75°，
∴∠ACE=30°，
∴∠CMB=90°
∴AC⊥BN，故①正确；
∴CE=2ME，
∵CE=2MN，
∴MN=ME，
∴CN=CE，
∴△NCE为等边三角形，故②正确；
∵∠AME=∠BDE=90°，∠AEM=∠BED，
∴△AME∽△BDE，
∴

BD

AM

=

DE

ME

，
∵CE=2ME，CE=

2

DE，BD=BF，
∴

BF

AM

=

2

，
∴BF=

2

AM，故③错误；
连接AB，
∵∠BED=∠AEM=75°，
∴∠EAM=∠EBD=15°，
∵AC垂直平分NE，
∴AN=AE，
∴∠NAM=∠EAM=15°，
∴∠NAE=30°∠ANB=75°，
∴∠NAB=75°，
∴NB=AB，
∵NB=NE+BE，AB=DE，NE=CE，
∴BE+CE=DE，
∵CE=

2

DE，
∴BE+

2

DE=DF，故④正确；
故答案为3个．

点评：此题综合考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形中的边角关系，锐角三角函数的意义等知识，注意解答的方法与技巧．