Question

如图，已知△ABC中，D为BC中点，AD=AC，DE⊥BC，DE与AB交于E，EC与AD相交于点F，
（1）△ABC与△FCD相似吗？请说明理由；
（2）若S_△FCD=5，BD=10，求DE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠B=∠FCD，∠FDC=∠ACB，即可解决问题；
（2）如图，作辅助线，首先求出FN的长度，进而求出AM的长度；运用△BDE∽△BMA，列出比例式即可解决问题．

解答：解：（1）△ABC∽△FCD；理由如下：
∵DE⊥BC，且BC=CD，
∴EB=EC，∠B=∠FCD；
又∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD．
（2）如图，分别过点A、F作AM⊥BC、FN⊥BC，垂足分别为M、N；
∵S_△FCD=5，BD=10，
∴

1

2

×5×FN=5，解得：FN=2；
∵△ABC∽△FCD，
∴

AM

FN

=

BC

DC

=2，
∴AM=4；
∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM=CM；而BD=DC，
∴BD：BM=2：3；
∵DE∥AM，
∴△BDE∽△BMA，
∴DE：AM=BD：BM，
∴DE=

2

3

×4=

8

3

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用相似三角形的有关定理来分析、判断、推理或解答．