Question

如图，以AB为直径的⊙O经过点C，点D为CO延长线上一点，且BC=BD，AB=4．
（1）若BC=2

3

，求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，求CD长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则根据勾股定理可计算出AC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠ABC=30°，则∠BCO=∠OBC=30°，由于BC=BD，所以∠D=∠BCO=30°，根据三角形外角性质得∠BOD=∠OCB+∠OBC=60°，于是利用三角形内角和定理得到∠OBD=90°，得到OB⊥BD，然后根据切线的判定定理即可得到BD是⊙O的切线；
（2）作BH⊥CD于H，如图，根据等腰三角形的性质得CH=DH，再证明Rt△BHC∽Rt△ACB，利用相似比可计算出CH=

9

4

，所以CD=2CH=

9

2

．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=4，BC=2

3

，
∴AC=

AB2-BC2

=2，
∴∠ABC=30°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=30°，
∵BC=BD，
∴∠D=∠BCO=30°，
而∠BOD=∠OCB+∠OBC=60°，
∴∠OBD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：作BH⊥CD于H，如图，
∵BC=BD，
∴CH=DH，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC，
∴Rt△BHC∽Rt△ACB，
∴

CH

BC

=

BC

AB

，即

CH

3

=

3

4

，
∴CH=

9

4

，
∴CD=2CH=

9

2

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．善于使用相似三角形的性质进行几何计算．