Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为AC的中点，AD⊥BC交于D，DE交BA的延长线于F，求证：BF：DF=AB：AC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先证明△ABD∽△CAD，得到AB：AC=BD：AD；再次证明△BDF∽△DEA，得到BF：DF=BD：AD，问题即可解决．

解答：解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC交于D，
∴∠B+∠C=∠DAC+∠C，
∴∠B=∠DAC，而∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD，
∴AB：AC=BD：AD；
∵点E为AC的中点，
∴EA=ED，∠ADF=∠DAC，
∴∠ADF=DBF，而∠F=∠F，
∴△BDF∽△DEA，
∴BF：DF=BD：AD；
∴BF：DF=AB：AC．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质定理的应用问题；解题的关键是深入分析，准确判断，科学论证．