【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y= 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,过点B作BC的垂线,交对称轴于点E.
(1)求证:点E与点D关于x轴对称;
(2)点P为第四象限内的抛物线上的一动点,当△PAE的面积最大时,在对称轴上找一点M,在y轴上找一点N,使得OM+MN+NP最小,求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值;
(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点D在射线AD上移动,点D平移后的对应点为D′,点A的对应点A′,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,将△FBC沿BC翻折,使点F落在点F′处,在平面内找一点G,若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形,求平移的距离.
【答案】
(1)证明:如图1中,令y=0,得到 x2﹣ x﹣3=0,解得x=﹣ 或3 ,
∴A(﹣ ,0),B(3 ,0),
令x=0,可得y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∵y= x2﹣ x﹣3= (x﹣ )2﹣4,
∴顶点D( ,﹣4),设对称轴与x轴交于F,则BF=2 ,
∵△EFB∽△BOC,
∴ = ,
∴ = ,
∴EF=4,
∴E( ,4),
∴E、D关于x轴对称.
(2)过点P作PQ∥y轴,交直线AE于点Q.
∵yAE= x+2,
∴设P(a, a2﹣ a﹣3),Q(a, a+2),(0<a<3 ),
∴PQ=( a+2)﹣( a2﹣ a﹣3)=﹣ a2+2 a+5,
∴S△PAE= PQ|xE﹣xA|= (﹣ a2+2 a+5)2 =﹣ a2+4a+5 ,
∴当a=﹣ =2 时,S△PAE最大,此时P(2 ,﹣3),
作点O关于对称轴的对称点O′(2 ,0),作点P关于Y轴的对称点P′(﹣2 ,﹣3),连接O′P′,分别交对称轴、y轴于点M、N,此时M、N即为所求.
∴yP′O′= x﹣ ,当x= 时,y=﹣ ,
∴M( ,﹣ ),
∴OM+MN+NP的最小值O′P′= = .
(3)∵F′( ,﹣ ),A(﹣ + t,﹣2t),D( ,﹣4),
设平移距离为 t,则A′(﹣ + t,﹣2t),D′( + t,﹣4﹣2t),
A′F2=6t2﹣24t+ ,D′F′2=6t2+ ,A′D′2=24,
①当A′F2=D′F′2时,6t2﹣24t+ =6t2+ ,解得t=1.
②当A′F′2=A′D′2时,6t2﹣24t+ =24,解得t= .
③当D′F′2=A′D′2时,24=6t2+ ,解得t= 或﹣ (舍弃),
∴平移的距离 t= , , .
【解析】(1)首先求出A、B、C、D的坐标,再根据△EFB∽△BOC对应边成比例得出方程,推出EF的长度,求出点E的坐标即可解决问题;
(2)过点P作PQ∥y轴,交直线AE于点Q.构建 二次函数,利用二次函数的性质求出点P的坐标,作点O关于对称轴的对称点O′,作点P关于Y轴的对称点P′,连接O′P′,分别交对称轴、y轴于点M、N,此时M、N即为所求;
(3)由题意得F,A,D三点的坐标,设平移距离为 t,则得出A′,D′的坐标,可得A′F2,,D′F′2,A′D′2的长度,然后分三种情形①当A′F2=D′F′2时,②当A′F′2=A′D′2时,③当D′F′2=A′D′2时列出方程即可解决问题。
【考点精析】解答此题的关键在于理解作轴对称图形的相关知识,掌握画对称轴图形的方法:①标出关键点②数方格,标出对称点③依次连线,以及对相似三角形的性质的理解,了解对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
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【题目】在东西向的马路上有一个巡岗亭A,巡岗员甲从岗亭A出发以13km/h速度匀速来回巡逻,如果规定向东巡逻为正,向西巡逻为负,巡逻情况记录如下:(单位:千米)
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 |
4 | -5 | 3 | -4 | -3 | 6 | -1 |
(1)求第六次结束时甲的位置(在岗亭A的东边还是西边?距离多远?)
(2)在第几次结束时距岗亭A最远?距离A多远?
(3)巡逻过程中配置无线对讲机,并一直与留守在岗亭A的乙进行通话,问在甲巡逻过程中,甲与乙的保持通话时长共多少小时?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛,学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试,他们各自的成绩(百分制)如表:
选手 | 表达能力 | 阅读理解 | 综合素质 | 汉字听写 |
甲 | 85 | 78 | 85 | 73 |
乙 | 73 | 80 | 82 | 83 |
(1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25,请计算乙的平均成绩,从他们的这一成绩看,应选派谁;
(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权,请分别计算两名选手的平均成绩,从他们的这一成绩看,应选派谁.
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【题目】周末小丽从家里出发骑单车去公园,因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道,所以小丽骑得特别放松.途中,她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水,耽误了一段时间后继续骑行,愉快地到了公园,图中描述了小丽路上的情景,下列说法中正确的是_______.
①小丽在便利店停留时间为15分钟
②公园离小丽家的距离为2000米
③小丽从家到达公园共用时间20分钟
④小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
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【题目】如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°点E是AB的中点,连接CE,过点E作ED⊥BC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE,求证四边形ACEF是平行四边形.
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【题目】有一科技小组进行了机器人行走性能试验,在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上,A、B两点之间的距离是90米,甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C,乙机器人始终以50米分的速度行走,乙行走9分钟到达C点.设两机器人出发时间为t(分钟),当t=3分钟时,甲追上乙.
请解答下面问题:
(1)B、C两点之间的距离是 米.
(2)求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分?
(3)若前4分钟甲机器人的速度保持不变,在4≤t≤6分钟时,甲的速度变为与乙相同,求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米?
(4)若6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度,直接写出当t>6时,甲、乙两机器人之间的距离S.(用含t的代数式表示).
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【题目】下列说法正确的有( )
①不相交的两条直线是平行线;
②经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;
③两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;
④在同一平面内,若直线,则直线与平行.
A.个B.个C.个D.个
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【题目】某次学生夏令营活动,有小学生、初中生、高中生和大学生参加,共200人,各类学生人数比例见扇形统计图.
(1)参加这次夏令营活动的初中生共有多少人?
(2)活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款.结果小学生每人
捐款 5 元,初中生每人捐款 10 元,高中生每人捐款 15 元,大学生每人捐款 20 元.问平均 每人捐款是多少元?
(3)在(2)的条件下,把每个学生的捐款数额(以元为单位)——记录下来,则在这组数据中,众数是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,CD=2,则AC等于( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
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