Question

如图所示，直线PD为△ABC一边BC的垂直平分线，点D为垂足，连接CP并延长CP交边AB于点F，射线BP交边AC于点E．
（1）若∠A=∠BPF，求证：BF=CE．
（2）在（1）的条件下，若∠A=60°，线段PD、PE、PF之间的数量关系为

 

．
（3）在（2）的条件下，若PC=8，且PF•PE=9，（PF＞PE），求PF-PE的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）作BM⊥CF于点M，CN⊥BN于点N，易证BM=CN和∠CEN=∠BFP，即可证明RT△BFM≌RT△CEN，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）易证∠MBP=∠PBD=30°，即可证明△BPM≌△BPD，可得PM=PD．易证△BPM≌△CPN，可得PM=PN，即可解题；
（3）易证PE+PF的值，根据完全平方公式的转化即可求得（PF-PE）²的值，即可解题．

解答：（1）证明：作BM⊥CF于点M，CN⊥BN于点N，

∵PD为BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，∴BM=CN，
∵∠A=∠BPF，∴∠BFP=∠BEA，
∵∠BEA=∠CEN，∴∠CEN=∠BFP，
∵在RT△BFM和RT△CEN中，

∠BFP=∠CEN ∠BMF=∠CNE=90° BM=CN

，
∴RT△BFM≌RT△CEN，（AAS）
∴BM=CF；
（2）解：∵∠BPF=60°，BP=CP，
∴∠PBD=∠PCD=30°，
∴∠MBP=∠PBD=30°，
∵在△BPM和△BPD中，

∠PBM=∠PBD BP=BP ∠BPM=∠BPM

，
∴△BPM≌△BPD，（ASA）
∴PM=PD．
∵在△BPM和△CPN中，

∠BMP=∠CNP=90° ∠BPM=∠CPN BP=CP

，
∴△BPM≌△CPN，（AAS）
∴PM=PN，
∴PE+PF=PM+FM+PE=PM+PN=2PD，
即PE+PF=2PD；
（3）解：∵∠PBD=30°，∴PC=2PD，
∴PE+PF=8，
∴（PF-PE）²=（PF+PE）²-2PE•PF=46，
∴PF-PE=

46

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RT△BFM≌RT△CEN和△BPM≌△BPD是解题的关键．