Question

如图，已知在△ABC中，AD是高，EFGH是△ABC的内接矩形，其中点E，H分别在AB，AC上，点F，G在BC上．若BC=6，AD=3．
（1）设EF=x，EH=y，求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
（2）设EF=x，四边形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）设EF=x，EH=y，根据EH∥BC，可得

EH

BC

=

AM

AD

，代入EH，AM长度即可解题；
（2）根据（1）中结论可以得出EH和EF的关系，即可求得S关于x的二次函数式，根据二次函数的最值问题即可解题．

解答：解：（1）设EF=x，EH=y，

则DM=EF=x，AM=AD-DM=3-x，
∵EH∥BC，
∴

EH

BC

=

AM

AD

，即

y

6

=

3-x

3

，
∴y=6-2x；
∵y＞0，∴6-2x＞0，即x＜3，
∵x＞0，∴x取值范围为0＜x＜3；
（2）设EF=x，四边形EFGH的面积为S，
则S=x（6-2x）=-2x²+6x，
在x=

6

2×2

=

3

2

时，S有最大值为

9

2

．

点评：本题考查了平行线对应线段成比例的性质，考查了二次函数的最值问题，本题中列出S关于x的函数式是解题的关键．