Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知，.

（1）如图1，求的值.

（2）把绕着点顺时针旋转，点、旋转后对应的点分别为、.

①当恰好落在的延长线上时，如图2，求出点、的坐标.

②若点是的中点，点是线段上的动点，如图3，在旋转过程中，请直接写出线段长的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）①，②;（3）

【解析】

（1）作AH⊥OB，根据正弦的定义即可求解；

（2）作MC⊥OB，先求出直线AB解析式，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义求出M点坐标，根据MN∥OB，求出N点坐标；

（3）由于点C是定点，点P随△ABO旋转时的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆，故根据点和圆的位置关系可知，当点P在线段OB上时，CP=BP-BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP=BP+BC最长．又因为BP的长因点D运动而改变，可先求BP长度的范围．由垂线段最短可知，当BP垂直MN时，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以点P与M重合时，BP=BM最长，代入CP=BP+BC求CP的最大值．

（1）作AH⊥OB，

∵，.

∴H（3,5）

∴AH=3,AH=

∴==

（2）由（1）得A（3,4），又

求得直线AB的解析式为：y=

∵旋转，∴MB=OB=6,

作MC⊥OB，∵AO=BO，

∴∠AOB=∠ABO

∴MC=MBsin∠ABO=6×=

即M点的纵坐标为，代入直线AB得x=

∴，

∵∠NMB=∠AOB=∠ABO

∴MN∥OB，又MN=AB=5，

则+5=

∴

（3）连接BP

∵点D为线段OA上的动点，OA的对应边为MN

∴点P为线段MN上的动点

∴点P的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆

∵C在OB上,且CB=OB=3

∴当点P在线段OB上时,CP=BPBC最短;当点P在线段OB延长线上时,CP=BP+BC最长

如图3，当BP⊥MN时，BP最短

∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5

∴MNBP=OByA

∴BP= ==

∴CP最小值=3=

当点P与M重合时，BP最大，BP=BM=OB=6

∴CP最大值=6+3=9

∴线段CP长的取值范围为.