Question

【题目】如图，已知是的直径，是的弦，点在外，连接，的平分线交于点.

（1）若，求证：是的切线；

（2）若，，求弦的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OC，利用直径所对的圆周角是直角，结合半径相等，利用等边对等角，证得∠OCE=90，即可证得结论；

（2）连接DB，证得△ADB为等腰直角三角形，可求得直径的长，再根据勾股定理求出AC即可．

（1）连接OC，

∵是的直径，

∴∠ACB=90，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠BCE=∠BAC，

∴∠BCE=∠BAC=∠OCA，

∵∠OCA+∠OCB=90，

∴∠BCE +∠OCB=90，

∴∠OCE=90，
∴CE是⊙O的切线；

（2）连接DB，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90，

∵CD平分∠ACB，

∴，

∴，

∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90，

∴．