Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且经过点A（5，8）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；

（3）设点P是x轴任一点，连接AP、BP．试求当AP+BP取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣2）2﹣1（或y=x2﹣4x+3）；（2）B （0，3 ），C（1，0 ），D （3，0 ）；（3）点P的坐标为（，0）．

【解析】

试题

（1）由抛物线的顶点坐标为（2，1）可设其解析式为，代入点A（5，8）求出的值即可得到抛物线的解析式；

（2）在（1）中所求解析式中，由求得对应的的值；由解得对应的的值；即可得到点B、C、D的坐标；

（3）由题意：取点B关于轴的对称点B′（0，﹣3），连接AB′交轴于点P，此时AP+BP的值最小，根据点A、B′的坐标求得直线AB′的解析式，即可求得点P的坐标.

试题解析：

（1）由题意可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

∵抛物线经过A（5，8），

∴8=a（5﹣2）2﹣1，解得：a=1

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）在y=x2﹣4x+3中，当x=0时，y=3，

∴点B的坐标为： （0，3 ）

当y=0时，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴点C的坐标为：（1，0 ），点D的坐标为： （3，0 ）；

（3）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣3），连接AB′交x轴于点P，此时AP+BP最小.

设直线AB′的解析式为y=kx+b过点A（5，8）和B′（0，﹣3），

∴ ，解得： ，

∴AB′的解析式为：，

∵在中，当时，解得：，

∴点P的坐标为.

点睛；（1）在已知抛物线的顶点坐标求其解析式时，一般设其解析式为“顶点式：”；（2）在已知直线上找一点，使其到已知直线同侧两点的距离之和最小的方法是：作出已知两点中其中一个点关于已知直线的对称点，并把这个点和两个已知点中的另一个连接，所得线段与已知直线的交点即为所找的点.