Question

5．如图，点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}（{k＜0}）$图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，点A的坐标为（-1，m）．
（1）求m和k的值．
（2）若一次函数y=ax+3的图象经过点A，交双曲线的另一支于点C，交y轴于点D，求△AOC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为6？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数系数的几何意义，利用△AOB的面积即可求出m值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，计算即可得到k的值．
（2）根据待定系数法求得一次函数的解析式，然后联立方程求得交点C的坐标，进而求得OD的长，根据S_△AOC=S_△AOD+S_△COD求得即可；
（3）设P点坐标为（0，c），根据题意有：$\frac{1}{2}×|{c-3}|×1+\frac{1}{2}×|{c-3}|×4=6$，解方程即可求得．

解答 解（1）依题意得$\frac{1}{2}×1×m=2$
∴m=4，
∴A（-1，4），
把点A（-1，4）代入$y=\frac{k}{x}$得$4=\frac{k}{-1}$，
∴k=-4；
（2）把A（-1，4）代入y=ax+3得：4=-a+3，解得a=-1，
∴y=-x+3，
又∵反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{x}\\ y=-x+3\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-1\end{array}\right.$
∴C的坐标为（4，-1），
又∵当x=0时y=-x+3=-0+3=3
∴OD=3，
∴S_△AOC=S_△AOD+S_△COD=$\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×4=\frac{15}{2}$；
（3）存在，
理由：假设存在，设P点坐标为（0，c）有：$\frac{1}{2}×|{c-3}|×1+\frac{1}{2}×|{c-3}|×4=6$，
解得$c=\frac{3}{5}$或$c=\frac{27}{5}$，
∴$P点坐标为（0，\frac{3}{5}）或（0，\frac{27}{5}）$
故存在P点使得△PAC的面积为6．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|．