Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AH⊥BC于H，点P从点B出发沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发沿CA边以每秒2个单位长度的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交AH所在直线于点E．若P、Q两点同时出发，当点Q运动到点A时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在P、Q两点运动过程中，当点E在线段AH上时，是否存在四边形AEDQ为直角梯形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）在运动过程中，若点E与点H重合，则t=

 

秒（直接写出答案）．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）先假设四边形AEDQ为直角梯形，然后在此基础上进行求时间t的值，连结AP根据三角形的面积求时间t；
（2）作HF⊥AC于点F，连结EP、EQ、HQ，然后结合勾股定理进行求出时间t．

解答：解：（1）如图所示，连结AP，
设四边形AEDQ为直角梯形，由DE垂直平分PQ得PQ⊥AC，
∵BP=3t，CQ=2t，BC=12，
∴PC=BC-BP=12-3t，
∵AH⊥BC，AB=AC=10，
∴HC=

1

2

BC=

1

2

×12=6，
∴AH=

AC2-HC2

=

102-62

=8，
∴S△ABP=

1

2

×BP×AH=

1

2

×3t×8=12t，
S△ABC=

1

2

×BC×AH=

1

2

×12×8=48，
∴S_△APC=S_△ABC-S_△ABP=48-12t，
∵S△APC=

1

2

×AC×PQ，
∴48-12t=

1

2

×10×PQ，
∴PQ=

48-12t

5

，
由PQ²+CQ²=PC²得
(

48-12t

5

)2+(2t)2=(12-3t)2，
整理得47t²-216t+432=0，
∵（-216）²-4×47×432＜0，
∴方程无实数解，
所以在P、Q两点运动过程中，当点E在线段AH上时，不存在四边形AEDQ为直角梯形；

（2）如图2所示，作HF⊥AC于点F，连结EP、EQ、HQ，
∵AB=AC=10，BC=12，AH⊥BC，
∴BH=HC=6，
∴AH=

AC2-HC2

=

102-62

=8，
由

AH•HC

2

=

AC•HF

2

得
HF=

AH•HC

AC

=

8×6

10

=

24

5

，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ，
∵点E与点H重合，
∴HP=HQ，
∵HP=

.

BP-BH

.

=

.

3t-6

.

，
∴HQ=

.

3t-6

.

，
∵HF⊥AC，
∴HQ²-FQ²=HF²，
∵CF=HC•cosC=HC•

HC

AC

=

6×6

10

=

18

5

，
∴FQ=

.

CQ-CF

.

=

.

2t- 18 5

.

，
∴

.

3t-6

.

2-

.

2t- 18 5

.

2=(

24

5

)2，
解得t=

108

25

，
此时，CQ=2t=

216

25

＜10=AC．
∴符合题意，
所以在运动过程中，若点E与点H重合，时间t=

108

25

秒．

点评：该题目考查了等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、三角形的面积公式，关键是分析出辅助线的作法．