Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB＝60°．

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E，则∠AEB＝60°；

（2）在前面的条件下，取BE中点M，过点M的直线分别交边AB、CD于点P、Q．

①当PQ⊥BE时，求证：BP＝2AP；

②当PQ＝BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②NQ＝2MQ或NQ＝MQ．理由见解析

【解析】

（1）分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；

（2）①连接PE，先证明PQ垂直平分BE．得到PB＝PE，再证明∠APE＝60°，得到∠AEP＝30°，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；

②NQ＝2MQ或NQ＝MQ，分两种情况讨论，作出辅助线，证明△ABE≌△FQP，即可解答．

（1）解：如图1，

分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；

（2）①证明：连接PE，如图2，

∵点M是BE的中点，PQ⊥BE，

∴PQ垂直平分BE．

∴PB＝PE，

∴∠PEB＝∠PBE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，

∴∠APE＝∠PBE+∠PEB＝60°，

∴∠AEP＝90°∠APE＝90°﹣60°＝30°，

∴BP＝EP＝2AP．

②NQ＝2MQ或NQ＝MQ．理由如下：

分两种情况：

如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则FQ＝CB．

∵正方形ABCD中，AB＝BC，

∴FQ＝AB．

在Rt△ABE和Rt△FQP中，，

∴Rt△ABE≌Rt△FQP（HL）．

∴∠FQP＝∠ABE＝30°．

又∵∠MGQ＝∠AEB＝60°，

∴∠GMQ＝90°，

∵CD∥AB．

∴∠N＝∠ABE＝30°．

∴NQ＝2MQ，

如图4所示，

过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF＝CB．

同理可证：△ABE≌△FQP．

此时∠FPQ＝∠AEB＝60°．

又∵∠FPQ＝∠ABE+∠PMB，∠N＝∠ABE＝30°．

∴∠EMQ＝∠PMB＝30°．

∴∠N＝∠EMQ，

∴NQ＝MQ．