Question

如图，在⊙O中，已知A是劣弧

BC

中点，连接OA并延长与BC交于点E，交⊙O的切线DC于点D，∠D=30°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB=6，求图中弓形的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC，则∠OCD=90°，可求得∠DOC=60°，利用圆周角定理可求得∠ABC=

1

2

∠DOC=30°；
（2）由A为

BC

的中点可知∠AOB=∠AOC=60°，可得△AOB为等边三角形，所以容易求得扇形AOB和△AOB的面积，从而可求得阴影部分的面积．

解答：解：（1）如图1，连接OC，

∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，且∠D=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠ABC=

1

2

∠DOC=30°；
（2）如图2，连接OB，

∵A为

BC

的中点，
∴∠BOA=∠AOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=AB=6，
∴S_扇形AOB=

1

6

π•OA²=6π，S_△AOB=

3

4

OA²=9

3

，
∴S_阴影=S_扇形AOB-S_△AOB=6π-9

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及圆周角定理、扇形的有关计算，连接OC是解决切线问题的常用辅助线．求得∠AOB=60°是求阴影部分面积的关键．