Question

7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA 向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点．点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm．当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动．设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数解析式；
（3）四边形PQCB的面积与△APQ面积比为3：2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当x为何值时，△AEQ为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB，由题意得出BP=EP=t，AQ=2t，则AP=10-t，CQ=6-2t，由平行线得出比例式，即可求出t的值；
（2）作PF⊥AQ于F，则PF∥BC，得出比例式求出PF，四边形PQCB的面积y=△ABC的面积-△APQ的面积，即可得出结果；
（3）分三种情况讨论：①当AE=AQ时；②当AE=QE时；③当AQ=EQ时；分别得出关于t的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
根据题意得：BP=EP=t，AQ=2t，
则AP=10-t，CQ=6-2t，
当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$=$\frac{PQ}{BC}$，
即$\frac{2t}{6}=\frac{10-t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{13}$；
∴当t=$\frac{30}{13}$时，PQ∥BC；
（2）作PF⊥AQ于F，如图1所示：
则PF∥BC，
∴$\frac{PF}{BC}=\frac{AP}{AB}$，
即$\frac{PF}{8}=\frac{10-t}{10}$，
∴PF=8-$\frac{4}{5}$t，
∴四边形PQCB的面积y=△ABC的面积-△APQ的面积
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×2t×（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{4}{5}$t²-8t+24，
即y=$\frac{4}{5}$t²-8t+24；
（3）能；
根据题意得：$\frac{4}{5}$t²-8t+24=$\frac{3}{2}$×2t×（8-$\frac{4}{5}$t），
解得：t=5±$\sqrt{13}$，
∵6÷2=3，
∴0≤t≤3，
∴t=5-$\sqrt{13}$；
（4）分三种情况讨论：
①当AE=AQ时，10-2t=2t，
解得：t=$\frac{5}{2}$；
②当AE=QE时，点E在AQ的垂直平分线上，
则AE=EP，
∴10-2t=t，
解得：t=$\frac{10}{3}$，不合题意，舍去；
③当AQ=EQ时，
作EF⊥AQ于F，如图2所示：
则EF=8-$\frac{8}{5}$t，AF=6-$\frac{6}{5}$t，
∴QF=$\frac{16}{5}$t-6，
根据勾股定理得：（2t）²=（8-$\frac{8}{5}$t）²+（$\frac{16}{5}$t-6）²，
解得：t=$\frac{25}{11}$，或t=5（不合题意，舍去），
∴t=$\frac{25}{11}$；
综上所述：当t=$\frac{5}{2}$或$\frac{25}{11}$时，△AEQ为等腰三角形．

点评 本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据题意得出方程才能得出结果．