Question

【题目】如图， 在四边形ABCD中，AD∥BC, E为CD的中点，连接 AE 、BE ，BE⊥AE， 延长AE交BC的延长线于 F，求证：（1） BE平分∠ABC （2）AB=BC+AD

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)根据AD//BC可知∠DAE=∠F ,∠D=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质可得AE=EF ,AD=CF，由BE⊥AE可得∠AEB=∠FEB可证△ABE≌△FBE即可解答.

(2)由（1）知 AD=CF， △ABE≌△FBE，可判断出AB= BF，由BF=BC+CF=BC+AD即可证.

证明： 如图 延长AE交BC的延长线于 F，

（1）∵ AD∥BC

∴ ∠DAE=∠F ∠D=∠ECF

∵ E为CD中点

∴ DE=CE

∵在△ADE和△FCE中

∴ △ADE≌△FCE （AAS）

∴ AE=EF，AD=CF

又∵ BE⊥AE

∴ ∠AEB=∠FEB=90°

∵在△ABE和△FBE中

∴ △ABE≌△FBE （SAS）

∴∠ABE=∠FBE

则BE平分∠ABC

（2）由（1）知 AD=CF △ABE≌△FBE

∴AB=BF

∵BF=BC+CF

∴BF=BC+CF=BC+AD

∴AB=BC+AD