Question

5．解方程：$\frac{9}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$-2（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）=0．

Answer 1

分析 根据完全平方公式变形得出（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）²-2（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）-3=0，设$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$=y，则原方程化为y²-2y-3=0，求出y的值，再代入求出x即可．

解答 解：$\frac{9}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$-2（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）=0，
（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）²-2$•\frac{3}{x}$•$\frac{x}{2}$-2（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）=0，
（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）²-2（$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$）-3=0，
设$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$=y，则原方程化为：y²-2y-3=0，
解得：y₁=3，y₂=-1，
当y=3时，$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$=3，
6+x²=6x，
x²-6x+6=0，
解得：x₁=3+$\sqrt{3}$，x₂=3-$\sqrt{3}$；
当y=-1时，$\frac{3}{x}$+$\frac{x}{2}$=-1，
x²+2x+6=0，此方程无解；
所以原方程的解为：x₁=3+$\sqrt{3}$，x₂=3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中．