Question

13．关于x的一元二次方程x²-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根；
（3）设x₁，x₂是方程的两个实根，若2x₁+x₁x₂+2x₂=8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）因为方程有两个不相等的实数根，得到△＞0，由此可求k的取值范围；
（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可；
（3）由根与系数的关系得出x₁+x₂=3，x₁x₂=-k，代入2x₁+x₁x₂+2x₂=8，得到2×3-k=8，解方程即可求出k的值．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（-3）²-4（-k）＞0，
即4k＞-9，解得k＞-$\frac{9}{4}$；

（2）若k是负整数，k只能为-1或-2；
取k=-2，原方程为x²-3x+2=0，
解得，x₁=1，x₂=2；

（3）∵x₁，x₂是方程的两个实根，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-k，
∵2x₁+x₁x₂+2x₂=8，
∴2（x₁+x₂）+x₁x₂=8，即2×3-k=8，
解得k=-2．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
也考查了一元二次方程的解法以及根与系数的关系．