Question

3．如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的一点，且CD=1，P是AB边上一动点，则PC+PD的最小值是5．

Answer 1

分析 过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵DC=1，BC=4，
∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′=$\sqrt{BC{′}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
故答案为：5．

点评 此题考查了轴对称-线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．