Question

18．CO是△ACE的高，点B在OE上，OB=OA，AC=BE
（1）如图1，求证：∠A=2∠E；
（2）如图2，CF是△ACE的角平分线．
①求证：AC+AF=CE；
②判断三条线段CE、EF、OF之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）连接CB，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可；
（2）①在CE上截取CH=CA，连接FH，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
②根据全等三角形的性质进行解答即可．

解答 证明：（1）连接CB，由AO=OB，CO⊥AB，
∴CA=CB，
∴∠A=∠CBA，
∵AC=BE，
∴BE=CB，
∴∠E=∠BCE，
∴∠A=∠CBA=∠BCE+∠E=2∠E；
（2）①在CE上截取CH=CA，连接FH，
∵∠ACF=∠ECF，CF=CF，
在△FCA与△FCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CA}\\{∠ACF=∠ECF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△FCA≌△FCH，
∴AF=HF，∠A=∠CHF=∠HFE+∠E=2∠E，
∴∠HFE=∠E，
∴AF=HE，
即CE=CH+HE=CA+AF；
②在①的基础上，BE=AC，AO=OB，
∴CE=CA+AF
=BE+AO+OF
=EF-FB+OB+OF
=EF+OF+OF
=EF+2OF．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．