Question

【题目】九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元).

时间x(天)	1	30	60	90
每天的销 售量p(件)	198	140	80	20

(1)求出w与x之间的函数表达式；

(2)销售该商品在第几天时，当天获得的销售利润最大？并求出最大利润；

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）当x＝45时，w最大，最大值为6050；（3）共有24天每天的销售利润不低于5600元.

【解析】

（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50<x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；

（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50<x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；

（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．

(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．

∵直线y＝kx＋b经过点(0，40)，(50，90)，

∴解得

∴售价y与时间x之间的函数表达式为y＝x＋40.

当50＜x≤90时，y＝90.

∴售价y与时间x之间的函数表达式为

y＝

由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系．

设每天的销售量p与时间x之间的函数表达式为p＝mx＋n(m，n为常数，且m≠0)．

∵直线p＝mx＋n经过点(30，140)，(60，80)，

∴解得

∴p＝－2x＋200(0≤x≤90，且x为整数)．

将(1，198)，(90，20)代入p＝－2x＋200均成立．

当0≤x≤50时，w＝(y－30)·p＝(x＋40－30)(－2x＋200)＝－2x2＋180x＋2000；

当50＜x≤90时，w＝(90－30)(－2x＋200)＝－120x＋12000.

综上所述，每天的销售利润w与时间x之间的函数表达式是

w＝

(2)当0≤x≤50时，w＝－2x2＋180x＋2000＝－2(x－45)2＋6050.

∵a＝－2＜0且0≤x≤50，

∴当x＝45时，w取得最大值，最大值为6050.

当50＜x≤90时，w＝－120x＋12000.

∵k＝－120＜0，∴w随x的增大而减小，

∴w＜6000.

∵6050＞6000，

∴当x＝45时，w最大，最大值为6050.

即销售该商品在第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

(3)当0≤x≤50时，令w＝－2x2＋180x＋2000≥5600，即－2x2＋180x－3600≥0，

解得30≤x≤50，50－30＋1＝21(天)．

当50＜x≤90时，令w＝－120x＋12000≥5600，即－120x＋6400≥0，

解得50＜x≤53.

∵x为整数，∴50＜x≤53，53－50＝3(天)，

21＋3＝24(天)，

故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．