Question

【题目】如图,已知A(3，0),B(0，-1)，连接AB,过B点作AB的垂线段,使BA=BC,连接AC.

(1)如图1，求C点坐标；

(2)如图2,若P点从A点出发,沿x轴向左平移,连接BP,作等腰直角三角形△BPQ,连接CQ.求证:PA=CQ.

(3)在(2)的条件下,若C、P、Q三点共线,求此时P点坐标及∠APB的度数.

Answer 1

【答案】（1）C（1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P（1，0）．

【解析】试题分析：（1）过C作CD⊥Y轴于D，证出△ABO≌△BCD，再由OB=DC，OA=DB得出C（1，-4）；

（2）证出△APB≌△CQB，进而得出PA=CQ；

（3）由C、P、Q三点共线，得∠CQB=135°，即∠APB=135°，进而∠OPB=45°，得P（1，0）．

试题解析：（1）过C作CD⊥Y轴于D，

∴∠AOB=∠BDC=90°， ∠2+∠3=90°，

∵BC⊥AB，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABO和△BCD中， ，

∴△ABO≌△BCD，

∴OB=DC， OA=DB

∴C（1，-4）；

（2）∵∠ABQ+∠QBC=∠PBA+∠ABQ=90°，

∴∠QBC=∠PBA，

在△APB和△CQB中， ，

∴△APB≌△CQB，（AAS）

∴AP=CQ；

（2）∵△APB≌△CQB，

∴∠APB=∠CQB，

∵由C、P、Q三点共线，

∴∠CQB=135°，即∠APB=135°，

∴∠OPB=45°，

∴P（1，0）．