Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M为CD中点，AM平分∠DAB，AD＋BC＝AB．求证：BM平分∠ABC．

（1）请你简要叙述小淇证明方法的错误之处；

（2）若AB＝5，AM＝3，求四边形ABCD面积．

Answer 1

【答案】（1）小淇证明方法的错误之处为：并没有证明A、M、F三点共线，不能用三线合一证明BM平分∠ABC；（2）12.

【解析】

（1）小淇证明方法是：利用补短法将BC延长至F，使CF=AD，连接MF（注：此时A、M、F三点不一定共线），然后利用平行得到一组内错角相等，利用SAS证明△ADM≌△FCM，得到AM=FM再利用BF=BC＋CF=BC＋AD=AB证出△ABF是等腰三角形，但此时并不知道A、M、F三点是否共线，故不能用三线合一证明BM平分∠ABC.

（2）添加上证明过程A、M、F共线之后，由（1）中△ADM≌△FCM，可得S四边形ABCD=S△DAM＋S四边形ABCM= S△FCM＋S四边形ABCM== S△ABF，再利用勾股定理即可求出高BM，面积即可求出.

解：（1）小淇证明方法是：将BC延长至F，使CF=AD，连接MF（注：此时A、M、F三点不一定共线），然后利用AD∥BC，得到∠D＝∠MCF.因为M为CD中点，所以CM=MD.利用SAS证明△ADM≌△FCM，得到AM=FM，再利用BF=BC＋CF=BC＋AD=AB证出△ABF是等腰三角形，但此时并不知道A、M、F三点是否共线，故不能用三线合一证明BM平分∠ABC.

（2）利用（1）的到的结论：△ADM≌△FCM

∴∠AMD=∠FMC，AM=FM，S△DAM= S△FCM

∵D、M、C三点共线，

∴∠AMD＋∠AMC=180°

∴∠FMC＋∠AMC=180°

∴∠AMF=180°

∴A、M、F三点共线

∵BF=BC＋CF=BC＋AD=AB，

∴△ABF是等腰三角形

∵AM=FM=3，

∴BM平分∠ABC，且BM⊥AC

在Rt△ABM中

BM=

S四边形ABCD=S△DAM＋S四边形ABCM= S△FCM＋S四边形ABCM== S△ABF=