Question

15．勾股定理神秘而每秒，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的”面积法“给小聪明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c²
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=b-A．
∵S_{四边形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S_{四边形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴a²+b²=c²
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a²+b²=c²．
证明：连结BD
∵S_{多边形ACBED}=$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab
又∵S_{多边形ACBED}=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴a²+b²=c²．

Answer 1

分析 连接BD，多边形ACBED的面积=△ABC的面积+△ABE的面积+△ADE的面积=$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，多边形ACBED的面积=△ABC的面积+△ABD的面积+△BDE的面积=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），得出$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），即可得出结论．

解答 解：连接BD，如图所示：
∵多边形ACBED的面积=△ABC的面积+△ABE的面积+△ADE的面积=$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，
又∵多边形ACBED的面积=△ABC的面积+△ABD的面积+△BDE的面积=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
整理得：a²+b²=c²．
故答案为：BD，$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）．

点评 本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的证明方法，运用面积法证明勾股定理是常用的方法．