Question

如图，在平面直角坐标系中，直线m：y=kx过原点，直线n：y=x+4与y轴交于点A，与直线m交于点B（8，8），x轴上一点P（t，0）从原点出发沿x轴向右运动，过点P作直线PM⊥x轴，分别交直线m，n与点M，N，连接ON．

（1）求k的值；

（2）当0≤t≤8时，用含t的代数式表示△OMN的面积S；

（3）在整个运动过程中，△OMN的面积S等于12吗？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，以MN为直径的圆与y轴相切？

　

Answer 1

 解：（1）将B点（8，8）代入y=kx，得

k==1；

（2）当x=t时，y=t+4，即N（t，t+4）；y=t，即M（t，t）．

NM=t+4﹣t=4﹣t，

S_△OMN=MN•OP=（4﹣）•t=2t﹣t²；

（3）当0≤t≤8时，S_△OMN=2t﹣t²=12，

化简，得

t²﹣8t+48=0，

△=b²﹣4ac=64﹣4×48=﹣128，

方程无解；

当t＞8时，S_△OMN=t²﹣2t=12，

解得t=12，t=﹣4（不符合题意舍），

综上所述：t=12时，△OMN的面积S等于12；

（4）以MN为直径的圆与y轴相切，得

2OP=MN．

当0≤t≤8时，2t=4﹣t，

解得t=，

即t=时，以MN为直径的圆与y轴相切；

当t＞8时，2t=t﹣4，

解得t=﹣（不符合题意舍），

综上所述：当t=时，以MN为直径的圆与y轴相切．