Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE＝，∠EAF＝45°，则AF＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，作正方形ABNM，MN与AF交于点G，连接EG，延长EB至H，使BH＝MG，连接AH，证△AMG≌△ABH，△GAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EG＝HE＝BE+MG，设MG＝x，根据全等三角形的性质得到用x表示出MG，根据勾股定理求出MG，根据相似三角形的性质求出DF，利用勾股定理即可求出AF的长．

如图，作正方形ABNM，MN与AF交于点G，连接EG，延长EB至H，使BH＝MG，连接AH，

∵在正方形ABNM中，

∴∠AMG＝∠ABH，AM＝AB，

在△AMG和△ABH中，

∵，

∴△AMG≌△ABH（SAS），

∴∠BAH＝∠GAM，AG＝AH，

∴∠GAH＝90°，

∴∠EAG＝∠EAH＝45°，

在△GAE和△HAE中，

∵，

∴△GAE≌△HAE（SAS），

∴EG＝HE＝BE+HB，

∴EG＝BE+MG，

设MG＝x，则NG＝3-x，EG＝x+，

在Rt△GEN中，EG2＝NG2+NE2，即（x+）2＝（3﹣x）2+，

解得:x＝1，即MG＝1，

∵MN∥CD，

∴△AGM∽△AFD，

∴，即，

解得:DF＝2，

∴