Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；

当t=3时，AN= t=5= AB，即N是线段AB的中点；

∴N（3，4）．

设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则：

4=3a（3﹣6），a=﹣ ；

∴抛物线的解析式：y=﹣ x（x﹣6）=﹣ x2+ x

（2）

解：过点N作NC⊥OA于C；

由题意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NAsin∠BAO= t = t；

则：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t=﹣ （t﹣3）2+6．

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6

（3）

解：∵Rt△NCA中，AN= t，NC=ANsin∠BAO= t，AC=ANcos∠BAO=t；

∴OC=OA﹣AC=6﹣t，

∴N（6﹣t， t）．

∴NM= = ；

又：AM=6﹣t，AN= t（0＜t≤6）；

①当MN=AN时， = t，即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；

②当MN=MA时， =6﹣t，即： t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2= ；

③当AM=AN时，6﹣t= t，即t= ；

综上，当t的值取2或 或 时，△MAN是等腰三角形

【解析】（1）根据A、B的坐标，可得到OA=6、OB=8、AB=10；当t=3时，AN=5，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA﹣OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积．（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长；由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可．