Question

7．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，
（1）探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明你的结论；
（2）探索弦AB与AC之间的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理，易得：∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BOC；已知∠AOB=2∠BOC，联立三式可求得所证的结论；
（2）在优弧ADC上取一点D，连接AD，CD，根据圆周角定理得到∠D=$\frac{1}{2}∠$AOC，∠ACB=$\frac{1}{2}∠$AOB，由∠AOC＞∠AOB，于是得到D＞∠ACB，由于∠ABC＞∠D，得到∠ABC＞∠ACB，即可得到结论．

解答 （1）答：∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC；
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC；

（2）答：AC＞AB．
证明：在优弧ADC上取一点D，连接AD，CD，
∴∠D=$\frac{1}{2}∠$AOC，∠ACB=$\frac{1}{2}∠$AOB，
∵∠AOC＞∠AOB，
∴∠D＞∠ACB，
∵∠ABC＞∠D，
∴∠ABC＞∠ACB，
∴AC＞AB．

点评 此题主要考查了圆周角定理的应用，根据已知得出：∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BOC是解题关键．