Question

【题目】（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线过点D，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线上吗？请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见试题解析；（3）不在；（4）N（﹣5，）或（3，）或（﹣3，）．

【解析】

试题分析：（1）先确定点B的坐标，再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD的长，从而得到点D的坐标，然后利用交点式求抛物线的解析式；

（2）先计算出CD=2OC=4，由平行四边形的性质得到AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，得出，加上∠DAE=∠DCB，得到△AED∽△COD，∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°，则∠CDO+∠ODE=90°，得到CD为⊙P的直径，即可得到结论；

（3）由△AED∽△COD，得出DE的长，由∠CDE=90°，DE＞DC，再由旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上，于是可判断点E′不能在抛物线上；

（4）利用配方得到y=，则M（﹣1，），且B（﹣4，0），D（0，），由平行四边形的性质和点平移的规律，利用分三种情况讨论得到N点的坐标．

试题解析：（1）∵C（2，0），BC=6，∴B（﹣4，0），在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，∴OD=2tan60°=，∴D（0，），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），把D（0，）代入得a4（﹣2）=，解得a=，∴抛物线的解析式为=；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴，，∴，而∠DAE=∠DCB，∴△AED∽△COD，∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°，∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠DOC=90°，∴CD为⊙P的直径，∴ED是⊙P的切线；

（3）E点的对应点E′不会落在抛物线上．理由如下：

∵△AED∽△COD，∴，即，解得DE=，∵∠CDE=90°，DE＞DC，∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上，∴点E′不能在抛物线上；

（4）存在．∵y==，∴M（﹣1，），而B（﹣4，0），D（0，），如图2，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移个单位得到点B，则点M（﹣1，）向左平移4个单位，再向下平移个单位得到点N1（﹣5，）；

当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；

当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，）向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3（﹣3，），

综上所述，点N的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，）．