Question

如图，AB=AC，点E在BC上，点D在AE上，∠BAC=∠BDE=2∠CDE，求证：BE=2CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在AE上截取AM=BD，连接CM，过点C作CN∥DB，交AE的延长线于点N，易证△CAM≌△ABD，可得∠CMN=∠BDE，即可求得CN=CM，进而可以求得AD=DM=CM=CN，即BD=2CN，根据CN∥DB即可解题．

解答：解：在AE上截取AM=BD，连接CM，过点C作CN∥DB，交AE的延长线于点N．

∵∠BAC=∠BDE，
∴∠BAD+∠CAM=∠BAD+∠ABD，
∴∠CAM=∠ABD，
∵在△CAM和△ABD中，

AB=AC ∠CAM=∠ABD AM=BD

，
∴△CAM≌△ABD，（SAS）
∴∠CMA=∠ADB，CM=AD，
∴∠CMN=∠BDE，
∵CN∥DB，
∴∠N=∠BDE，
∴∠CMN=∠N，
∴CN=CM，
∵∠BDE=2∠CDE，
∴∠CMN=2∠CDE，
∵∠CMN=∠CDE+∠DCM，
∴∠CDE=∠DCM，
∴DM=CM，
∴AD=DM=CM=CN，
∴AD+DM=2CN，即AM=2CN，
∴BD=2CN，
∵CN∥DB，
∴BE=2EC．

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角、对应边相等的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角的性质，本题中求证△CAM≌△ABD是解题的关键．