Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC⊥BD，AB=2，CD=6，则四边形ABCD的面积为24．

Answer 1

分析 过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，作BF⊥BC于F，证平行四边形ABEC，推出AC=BE=BD，∠DBE=90°，根据等腰三角形性质推出DF=BF=EF=$\frac{1}{2}$DE，求出BF、BE，根据梯形的面积公式求出即可．

解答 解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，
∵AB∥CD，
即AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴AB=CE=2，AC=BE，
在等腰梯形ABCD中，AC=DB，
∴DB=BE，
∵AC⊥BD，AC∥BE，
∴∠EBD=∠DOC=90°，
∴DB⊥BE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
作BF⊥DC于F，
∴DF=EF，
∴BF=$\frac{1}{2}$DE=4，
则BE=AC=4$\sqrt{2}$，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+DC）•BF=$\frac{1}{2}$（2+6）×4=24，
故答案为：24．

点评 本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．