Question

【题目】如图（1），在矩形中，把、分别翻折，使点、分别落在对角线上的点、处，折痕分别为、．

　　　　

（1）求证：．

（2）请连接、，证明四边形是平行四边形

（3）、是矩形的边、上的两点，连结、、，如图（2）所示，若，．且，，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PC=2

【解析】

(1)根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM；
(2)连接NE、MF，根据(1)的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME，即可得到结论；
(3)设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得AF+(CE-EF)=5，可得EF=1，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2，求出NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2 .

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，
由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△AND和Rt△CMB中， ，
∴△AND≌△CMB(AAS)
（2）由（1）得：△AND≌△CMB，

∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，.

∴NF∥ME，
∴四边形MFNE是平行四边形；

（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G，如图所示：

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵AF=CE=BC=3，

∴2AF-EF=AC，即6-x=5，

解得x=1，

∴EF=1，

∴CF=2，

由折叠的性质得：NF=DN=,

∵OE=OF=EF=,
∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，
∴ON=，

∴MN=2ON=，

∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，

∴MN=PQ=，

∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，PG2=PQ2-QG2，

∴PG==1，

∴PC=2PG=2.