【题目】已知,四边形是正方形,点
在边
上,点
在边
的延长线上,且
,连接
.
(1)如图①,连接.求证:
是等腰直角三角形;
(2)如图②,与
交于点
,若正方形
的边长为6,
,求
的长.
(3)点,点
分别在边
,边
上,
与
交于点
,且
,若正方形
的边长为6.
求
的长(直接写出结果即可)
【答案】(1)见解析;(2);(3)3
【解析】
(1)证明△CDE≌△CBF即可得出结论;
(2)过作
于
,构建直角△AGM,证明△FGM∽△FAE,得FG=2GM,设GM=x,则FG=2x,根据正方形的性质可得△BGM是等腰直角三角形,则可求出AG=4,GM=2,由勾股定理可得AM的长;
(3)过G作GP⊥CD于P,证明△GHP≌△CED,可得CE=GH=,在
中利用勾股定理可求得DE的长.
解:(1)∵四边形是正方形,
∴,
∴,
在和
中,
,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形;
(2)如图,过作
于
,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
设,则
,
∵四边形是正方形,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)如图,过作
于
,
由(1)知:,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
在中,由勾股定理得:
.
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【题目】如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连结CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( )
A. ∠BOC=2∠BAD B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. AD=2OB
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【题目】把八个完全相同的小球平分为两组,每组中每个分别写上1,2,3,4四个数字,然后分别装入不透明的口袋内搅匀,从第一个口袋内取出一个数记下数字后作为点P的横坐标x,然后再从第二个口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标,则点P(x,y)落在直线y=﹣x+5上的概率是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某学校要从数学竞赛初赛成绩相同的四名学生(其中2名男生,2名女生)中,随机选出2名学生去参加决赛,则选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,的对角线
、
相交于点
,对角线
绕点
逆时针旋转,分别交边
、
于点
、
.
(1)求证:;
(2)若,
,
.当
绕点
逆时针方向旋转
时,判断四边形
的形状,并说明理由.
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【题目】如图①,矩形中,
,
,点
是
边上的一动点(点
与
、
点不重合),四边形
沿
折叠得边形
,延长
交
于点
.
图① 图②
(1)求证:;
(2)如图②,若点恰好在
的延长线上时,试求出
的长度;
(3)当时,求证:
是等腰三角形.
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【题目】如图(1),在矩形中,把
、
分别翻折,使点
、
分别落在对角线
上的点
、
处,折痕分别为
、
.
(1)求证:.
(2)请连接、
,证明四边形
是平行四边形
(3)、
是矩形的边
、
上的两点,连结
、
、
,如图(2)所示,若
,
.且
,
,求
的长度.
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【题目】问题提出:某物业公司接收管理某小区后,准备进行绿化建设,现要将一块四边形的空地(如图5,四边形ABCD)铺上草皮,但由于年代久远,小区规划书上该空地的面积数据看不清了,仅仅留下两条对角线AC,BD的长度分别为20cm,30cm及夹角∠AOB为60°,你能利用这些数据,帮助物业人员求出这块空地的面积吗?
问题显然,要求四边形ABCD的面积,只要求出△ABD与△BCD(也可以是△ABC与△ACD)的面积,再相加就可以了.
建立模型:我们先来解决较简单的三角形的情况:
如图1,△ABC中,O为BC上任意一点(不与B,C两点重合),连接OA,OA=a,BC=b,∠AOB=α(α为OA与BC所夹较小的角),试用a,b,α表示△ABC的面积.
解:如图2,作AM⊥BC于点M,
∴△AOM为直角三角形.
又∵∠AOB=α,∴sinα=即AM=OAsinα
∴△ABC的面积=BCAM=
BCOAsinα=
absinα.
问题解决:请你利用上面的方法,解决物业公司的问题.
如图3,四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=20m,BD=30m,∠AOB=60°,求四边形ABCD的面积.(写出辅助线作法和必要的解答过程)
新建模型:若四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=a,BD=b,∠AOB=α(α为OA与BC所夹较小的角),直接写出四边形ABCD的面积= .
模型应用:如图4,四边形ABCD中,AB+CD=BC,∠ABC=∠BCD=60°,已知AC=a,则四边形ABCD的面积为多少?(“新建模型”中的结论可直接利用)
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