Question

【题目】如图，的对角线、相交于点，对角线绕点逆时针旋转，分别交边、于点、．

（1）求证：；

（2）若，，．当绕点逆时针方向旋转时，判断四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）平行四边形DEBF是菱形，证明见解析.

【解析】

（1）由“ASA”可证△COE≌△AOF，可得CE=AF；

（2）由勾股定理的逆定理可证∠DBC=90°，通过证明四边形DEBF是平行四边形，可得DO=BO=1=BC，可得∠BOC=45°，由旋转的性质可得∠EOC=45°，可得EF⊥BD，即可证平行四边形DEBF是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴CD∥AB，AO=CO，AB=CD

∴∠DCO=∠BAO，且AO=CO，∠AOF=∠COE

∴△COE≌△AOF（ASA）

∴CE=AF，

（2）四边形BEDF是菱形

理由如下

如图，连接DF，BE，

∵DB=2，BC=1，

∴DB2+BC2=5=CD2，

∴∠DBC=90°

由（1）可得AF=CE，且AB=CD

∴DE=BF，且DE∥BF

∴四边形DEBF是平行四边形

∴DO=BO=1，

∴OB=BC=1，且∠OBC=90°

∴∠BOC=45°，

∵当AC绕点O逆时针方向旋转45°时

∴∠EOC=45°

∴∠EOB=90°，即EF⊥BD

∴平行四边形DEBF是菱形