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【题目】如图,已知AB⊙O的直径,点C⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DCAB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.

(1)求证:AC平分∠DAB;

(2)求证:△PCF是等腰三角形;

(3)AF=6,EF=2,求⊙O的半径长.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)4

【解析】

(1)根据切线的性质得OCAD,而ADDP,则肯定判断OCAD,根据平行线的性质得∠DAC=OCA,加上∠OAC=OCA,所以∠OAC=DAC;

(2)根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°,则∠BCE=45°,再利用圆周角定理得∠BOE=2BCE=90°,则∠OFE+OEF=90°,易得∠CFP+OEF=90°,再根据切线的性质得到∠OCF+PCF=90°,而∠OCF=OEF,根据等角的余角相等得到∠PCF=CFP,于是可判断PCF是等腰三角形;

(3)连结OE.由AB为⊙O的直径,得到∠ACB=90°,根据角平分线的定义得到∠BCE=45°,设⊙O的半径为r,则OF=6-r,根据勾股定理列方程即可得到结论.

(1)证明:∵PD为⊙O的切线,

OCDP,

ADDP,

OCAD,

∴∠DAC=OCA,

OA=OC,

∴∠OAC=OCA,

∴∠OAC=DAC,

AC平分∠DAB;

(2)证明:∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

CE平分∠ACB,

∴∠BCE=45°,

∴∠BOE=2BCE=90°,

∴∠OFE+OEF=90°,

而∠OFE=CFP,

∴∠CFP+OEF=90°,

OCPD,

∴∠OCP=90°,即∠OCF+PCF=90°,

而∠OCF=OEF,

∴∠PCF=CFP,

∴△PCF是等腰三角形;

(3)解:连结OE.

AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,

CE平分∠ACB,∴∠BCE=45°,

∴∠BOE=90°,即OEAB,

设⊙O的半径为r,则OF=6-r,

RtEOF中,∵OE2+OF2=EF2

r2+(6-r)2=(22

解得,r1=4,r2=2,

r1=4时,OF=6-r=2(符合题意),

r2=2时,OF=6-r=4(不合题意,舍去),

∴⊙O的半径r=4.

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1)求证:

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问题显然,要求四边形ABCD的面积,只要求出ABDBCD(也可以是ABCACD)的面积,再相加就可以了.

建立模型:我们先来解决较简单的三角形的情况:

如图1,ABC中,OBC上任意一点(不与B,C两点重合),连接OA,OA=a,BC=b,AOB=α(αOABC所夹较小的角),试用a,b,α表示ABC的面积.

解:如图2,作AMBC于点M,

∴△AOM为直角三角形.

又∵∠AOB=α,sinα=AM=OAsinα

∴△ABC的面积=BCAM=BCOAsinα=absinα.

问题解决:请你利用上面的方法,解决物业公司的问题.

如图3,四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=20m,BD=30m,AOB=60°,求四边形ABCD的面积.(写出辅助线作法和必要的解答过程)

新建模型:若四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=a,BD=b,AOB=α(αOABC所夹较小的角),直接写出四边形ABCD的面积=   

模型应用:如图4,四边形ABCD中,AB+CD=BC,ABC=BCD=60°,已知AC=a,则四边形ABCD的面积为多少?(新建模型中的结论可直接利用)

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【题目】如图,已知矩形ABCD中,将ABE沿着AE折叠至AEF的位置,点F在对角线AC上.若BE=3,EC=5,则AB的长为_____.

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【题目】如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC 的三个顶点的坐标分别 A(-3,4)B(-5,2)C(-2,1)

(1)画出 △ABC关于y 轴的对称图形 △A1B1C1

(2)画出将△ABC 绕原点 O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2

(3)求(2)中线段 OA扫过的图形面积.

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【题目】已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的有(  )

①当ABBC时,它是菱形;②当ACBD时,它是菱形;③当∠ABC90°时,它是矩形;④当ACBD时,它是正方形.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【题目】如图,在Rt△ABC中,BC=2,BAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:

若C、O两点关于AB对称,则OA=2

C、O两点距离的最大值为4;

若AB平分CO,则AB⊥CO;

斜边AB的中点D运动路径的长为

其中正确的是_____(把你认为正确结论的序号都填上).

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【题目】为等腰直角三角形,,点DAB边上(不与点AB重合),以CD为腰作等腰直角.

1)如图1,作F,求证:

2)在图1中,连接AEBCM,求的值。

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