Question

【题目】如图，矩形ABCD中，将△BCD绕点B逆时针旋转得△BEF，其中点C的对应点E恰好落在BD上．BF，EF分别交边AD于点G，H．若GH＝4HD，则cos∠DBC的值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

本题求cos∠DBC的值,即求，该题思路找出与∠DBC相同的角，由旋转知∠DBC=∠FBE=∠HDE，再证明出∠F=∠GHF，设HD=x，GH=4x，BD=y，则DG=5x，则cos∠DBC＝cos∠EDH，，∴，求出即可．

解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转得△BEF，其中点C的对应点E恰好落在BD上．

∴∠FBE＝∠DBC，BF＝BD，BE＝BC，∠BEF＝∠C＝90°，

∵矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EDH＝∠DBC，

∴∠FBE＝∠DBC＝∠EDH，

∴BG＝DG，

∵GH＝4HD，

∴设HD＝x，GH＝4x，设BE＝BC＝y，

则BG＝DG＝5x，

∵∠DHE+∠EDH＝90°，∠F+∠FBE＝90°，∠FBE＝∠EDH，

∴∠F＝∠DHE，

∵∠FHG＝∠DHE，

∴∠F＝∠FHG，

∴GF＝GH＝4x，

∴BF＝BD＝9x，DE＝9x﹣y，

∵cos∠DBC＝cos∠EDH，

∴，

∴，

∴xy＝81x2﹣9xy，

∴10xy＝81x2，

∴10y＝81x，

∴，，即cos∠DBC＝．

故答案为：．