Question

2．如图，在△ABC中，∠B=24°，∠C=30°，D为BC边上一点，AB=CD，连接AD，求证：△DBA∽△ABC．

Answer 1

分析 在△DBA与△ABC中，有一个公共角相等，所以欲证明△DBA∽△ABC，只需推知∠BAD=∠CAB，利用“两角法”证得两个三角形相似即可．

解答 证明：如图，作△ABC的外接圆圆O，连接OB、OC、OA、OD．则OA=OB=OC，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=∠BAO=∠AOB=60°；
同理，∠BOC=2∠BAC=48°，
∵AB=CD，
∴OC=CD，
∴∠OCB=∠OBC=66°，
∴∠ACO=66°-30°=36°．
∵OA=OC，
∴∠COD=∠CDO=72°．
又∵∠AOC=180°-2×36°=108°，
∴∠AOD=108°-72°=36°．
∵∠OAD=36°，
∴AD=OD．
∵∠AOB°，
∴∠BOD=60°-36°=24°．
在△ABD与△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=OD}\\{∠BAD=∠BOD}\\{AB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△OBD（SAS），
∴∠ABD=∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABO=30°．
∴∠BAD=∠CAB，
∴△DBA∽△ABC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．