【题目】如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,,点的坐标分别为,动点从点沿以每秒个单位的速度运动;动点从点沿以每秒个单位的速度运动.同时出发,设运动时间为秒.
(1)在时,点坐标 ,点坐标 ;
(2)当为何值时,四边形是矩形?
(3)运动过程中,四边形能否为菱形?若能,求出的值;若不能,说明理由.
【答案】(1)M(3,8) N(15,0) ;(2)t=7 ;(3)能,t=5 .
【解析】
(1)根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC,然后根据路程=速度×时间求出AM、CN,再求出ON,然后写出点M、N的坐标即可;
(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,当AM=ON时,四边形OAMN是矩形,然后列出方程求解即可;
(3)先求出四边形MNCB是平行四边形的t值,并求出CN的长度,然后过点B作BC⊥OC于D,得到四边形OABD是矩形,根据矩形的对边相等可得OD=AB,BD=OA,然后求出CD,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证.
解:(1)∵B(15,8),C(21,0),
∴AB=15,OA=8,
OC=21,
当t=3时,AM=1×3=3,
CN=2×3=6,
∴ON=OC-CN=21-6=15,
∴点M(3,8),N(15,0);
故答案为:(3,8);(15,0);
(2)当四边形OAMN是矩形时,AM=ON,
∴t=21-2t,
解得t=7秒,
故t=7秒时,四边形OAMN是矩形;
(3)存在t=5秒时,四边形MNCB为菱形.
理由如下:四边形MNCB是平行四边形时,BM=CN,
∴15-t=2t,
解得:t=5秒,
此时CN=5×2=10,
过点B作BD⊥OC于D,则四边形OABD是矩形,
∴OD=AB=15,BD=OA=8,
CD=OC-OD=21-15=6,
在Rt△BCD中,BC==10,
∴BC=CN,
∴平行四边形MNCB是菱形,
故,存在t=5秒时,四边形MNCB能否为菱形.
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【题目】(本题8分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)直接写出点C和点D的坐标;
(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.
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【题目】某种水泥储存罐的容量为25立方米,它有一个输入口和一个输出口.从某时刻开始,只打开输入口,匀速向储存罐内注入水泥,3分钟后,再打开输出口,匀速向运输车输出水泥,又经过2.5分钟储存罐注满,关闭输入口,保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥,当输出的水泥总量达到8立方米时,关闭输出口.储存罐内的水泥量y(立方米)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示.
(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量.
(2)当3≤x≤5.5时,求y与x之间的函数关系式.
(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 立方米,从打开输入口到关闭输出口共用的时间为 分钟.
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【题目】已知一次函数的图象经过点A(2,1),B(﹣1,﹣3).
(1)求此一次函数的解析式;
(2)求此一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标;
(3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A′B′C′关于点P位似,且顶点都在格点上.
(1)在图上找出位似中心P的位置,并直接写出点P的坐标是;
(2)写出△ABC与△A′B′C′的面积比.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,CD⊥BC于点C,交∠ABC的平分线于点D,AE平分∠BAC交BD于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,连接DF.
(1)补全图1;
(2)如图1,当∠BAC=90°时,
①求证:BE=DE;
②写出判断DF与AB的位置关系的思路(不用写出证明过程);
(3)如图2,当∠BAC=α时,直接写出α,DF,AE的关系.
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【题目】某商店从厂家以21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价为元,则可卖出(350-10)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品应售多少元?
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【题目】如图,已知直线l1:y=2x﹣3与直线l2:y=﹣x+3相交于点P,分别与y轴相交于点A、B.
(1)求点P的坐标;
(2)点M(0,k)为y轴上的一个动点,过点M作y轴的垂线交l1和l2于点N,Q,当NQ=2时,求k的值.
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