Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点A在x轴的正半轴上，B为⊙O上一点，过点A、B的直线与y轴交于点C，且OA2＝ABAC．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若AB＝，求直线AB对应的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

，

（1）连接OB，根据题意可证明△OAB∽△CAO，继而可推出OB⊥AB，根据切线定理即可求证结论；

（2）根据勾股定理可求得OA＝2及A点坐标，根据相似三角形的性质可得，进而可求CO的长及C点坐标，利用待定系数法，设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，再把点A、C的坐标代入求得k、b的值即可．

（1）证明：连接OB．

∵OA2＝ABAC

∴,

又∵∠OAB＝∠CAO，

∴△OAB∽△CAO，

∴∠ABO＝∠AOC，

又∵∠AOC＝90°，

∴∠ABO＝90°，

∴AB⊥OB；

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ABO＝90°，，OB＝1，

∴，

∴点A坐标为（2，0），

∵△OAB∽△CAO，

∴，

即，

∴，

∴点C坐标为；

设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，

则，

∴

∴．

即直线AB对应的函数表达式为．