Question

13．如图，已知△ABC，外心为O，BC=10，∠BAC=60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是5-$\frac{5}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据已知条件证明△DAC≌△BAE，得到∠DPB=90°，证明点P在以BC为直径的圆上，再在△BOC中，求出OH的长，得到答案．

解答 解：如图，∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上，
∵外心为O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，又BC=10，
∴OH=$\frac{5}{3}\sqrt{3}$，
所以OP的最小值是5-$\frac{5}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆的知识，灵活运用等腰直角三角形的性质、直径所对的圆周角是直角和解直角三角形的知识是解题的关键，解答本题时，要确定OP在什么情况下最小．